: : :
: : : p.s. Я пас.
: :
: : predstavim neizvestnoe chislo v vide
: : x=10*y+2,
: : ochevidno, tak mozhno sdelat'. Togda posle perestanovki dvoiki vpered poluchaem chislo vida
: : 2*10^k+y,
: : gde 'k' - kolichestvo znakov v chisle 'y' (na 1 menshe chem v 'x'). Otsiuda poluchaem uravnenie
: : 2*10^k+y=2*(10*y+2),
: : reshaem ego otnositelno 'y'
: : y=(2*10^k-4)/19. < ---------(kliuchevoe ravenstvo)
: : Dalshe ostaetsia perebrat' vse naturalnie 'k' tak, chobi v rezultate vichisleniy chislo 'y' okazalo' celim (zdes' excel deystvitelno rulit :))...
: :
: : A mozhno eschi podumat', no eto esli prederzhivatsia tochki zreniya programmista :)
:
:
: Значит так, подумав немного, поужинав и выполнив 19 вычислений с помощью куркулятора получился следующий ответ
:
: число имеет вид
: x=10*((2*10^k-4)/19)+2,
: k=17+18*p,
: где p - произвольное натуральное число или нуль... кстати, при p=0 получается число Драука.
Доказательство.
Мы уже выяснили, что искомое число имеет вид
x=10*((2*10^k-4)/19)+2,
где натуральное 'k' таково, что 2*10^k-4 делится на 19.
Иначе 2*10^k при делении на 19 даёт в остатке 4. Принимая во внимание тот факт, что 2*10^k и 9 - взаимопростые числа, скажем так 10^k при делении на 19 даёт в остатке 2.
Уже отсюда видно, что нам достаточно перебрать 19 значений 'k'. Будем перебирать:
'k' (остаток от деления 10^k на 19)
0 (1)
1 (10)
2 (5)
3 (12)
4 (6)
5 (3)
6 (11)
7 (15)
8 (17)
9 (18)
10 (9)
11 (14)
12 (7)
13 (13)
14 (16)
15 (8)
16 (4)
17 (2) < ------ вот оно родимое :)
18 (1)
Значит при k=17 остаток равен 2. Остальные значения 'k' получаются через период, равный 18.
Т.е. k=17+18*p.
Кстати, перебор значений 'k' можно делать на листе бумаги, работая с числами, непревосходящими 200.
Дальнейшие вопросы:
1. Если обратить внимание на значения остатков при k равном 2,4, или 9,10 , или 14,15,16,17, то можно заметить закономерность... а как её объяснить?
2. Почему достаточно перебрать 19 значений 'k'?
3. Можно ли перебрать меньше 19-ти?
4. Можно ли вообще избежать перебора?
:
| math for fun - Mirax , 30.08.2004 17:54 MSK |
